Hora adequada

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A linha vertical azul representa um observador inercial medindo um intervalo de tempo t entre dois eventos E 1 e E 2 . A curva vermelha representa um relógio que mede o tempo τ decorrido em seu referencial entre os mesmos eventos.

Na física , o tempo adequado é o tempo medido em um sistema de referência que é parte integrante do fenômeno cuja duração é medida. É, portanto, independente das coordenadas e é um escalar de Lorentz (é invariante sob transformações de Lorentz).

O conceito, introduzido em 1908 por Hermann Minkowski [1] , é o análogo do espaço - tempo do comprimento de um arco no espaço euclidiano tridimensional. Permite parametrizar o tempo medido por um observador estacionário em relação a outro observador em movimento e é definido informalmente como o tempo decorrido entre dois eventos medidos por um relógio que passa por ambos.

A necessidade de utilização desta grandeza surgiu a partir da teoria da relatividade especial, em que a medida de um intervalo de tempo em um sistema de referência em repouso é maior que a mesma medida realizada em um sistema incipiente, ou em um sistema de referência em aceleração ( dilatação do tempo ) .

Definição

Considere um relógio que se move com velocidade constante e um sistema de referência cartesiano ( inercial ) integrado a ele. Comparado a um segundo sistema de referência em repouso, em um tempo o relógio segue um caminho cujo comprimento é dado por , Cadê , E são variações infinitesimais da posição do relógio no sistema parado. Visto que na relatividade especial o intervalo de espaço-tempo que permanece inalterado entre dois sistemas em movimento relativo uniforme é dado por:

Cadê é o intervalo de tempo no sistema em movimento, o intervalo de tempo medido pelo relógio em movimento é dado pela integral de ao longo de sua linha de universo . Esta integral é máxima se a linha mundial em questão for uma linha reta. Da relação anterior, obtemos:

Cadê:

é a velocidade do sistema em movimento. Portanto, temos:

A hora certa medido pelo relógio em movimento é definido para uma velocidade arbitrária da seguinte forma: [2]

Cadê é a velocidade na hora , enquanto , E são as coordenadas espaciais .

Se o tempo e as coordenadas espaciais são parametrizados por , você pode escrever:

Diferencialmente, esta expressão se torna uma integral de linha :

Cadê é o caminho seguido pelo relógio no sistema de referência.

Quantidade é, portanto, invariante após uma transformação de Lorentz . Uma quantidade que é preservada desta forma é chamada de invariante de Lorentz , e o conjunto de transformações que não mudam é o grupo Lorentz . [3]

Relatividade geral

A teoria da relatividade geral permite generalizar os resultados da relatividade especial usando o formalismo tensorial . Considere um espaço - tempo descrito por uma variedade pseudo-Riemanniana , caracterizada por um tensor métrico , em que um sistema de coordenadas é definido . O intervalo entre dois eventos distantes é dado por:

Cadê pode ser de gênero espacial , gênero de luz ou gênero de tempo, dependendo do que é respectivamente menor, igual ou maior que zero. No primeiro caso, o intervalo não pode ser cruzado, pois exigiria uma velocidade maior do que a velocidade da luz , no segundo caso a velocidade necessária é exatamente e a conversão para o tempo próprio é trivial, no terceiro caso é permitido o cruzamento de objetos massivos. Considerando a raiz quadrada de ambos os membros do elemento linha, temos o tempo adequado medido pelo relógio movendo-se ao longo de um caminho do tipo tempo é dado pela integral de linha:

Cadê:

em que a notação de Einstein foi usada.

Exemplo

Ícone da lupa mgx2.svg O mesmo tópico em detalhes: Quatro velocidades .

No espaço-tempo de Minkowski, a evolução das coordenadas espaciais de um objeto ao longo do tempo é descrita por uma curva, que é parametrizada pelo próprio tempo. A quatro velocidades é o vetor cujos componentes são a variação das coordenadas espaciais e temporais com respeito ao próprio tempo. Além disso, sua norma geralmente é igual à velocidade da luz c , e apenas muda a direção.

Na mecânica clássica, a trajetória de um objeto é descrita em três dimensões por suas coordenadas , com , expresso em função do tempo :

Cadê é o i-ésimo componente da posição no momento . Os componentes da velocidade no ponto tangentes à trajetória são:

onde os derivados são avaliados em .

No espaço-tempo de Minkowski, as coordenadas são , com , no qual é o componente de tempo multiplicado por c . Além disso, a parametrização ocorre em função do próprio tempo :

Considerando o fenômeno denominado dilatação do tempo:

a quatro velocidades em relação a é definido como:

Observação

  1. ^ Hermann Minkowski , Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern , em Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen , Göttingen, 1908, pp. 53-111. Recuperado em 18 de janeiro de 2013 (arquivado do original em 8 de julho de 2012) .
  2. ^ Jackson , página 528 .
  3. ^ Jackson , página 527 .

Bibliografia

Itens relacionados

links externos

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